前面建立的UMpHMP模型是NP-hard問題,，目前沒有有效的算法,。為了減少計(jì)算時(shí)間,，Ernst和Krishnamoorthy(1998a,，1998b)為樞紐網(wǎng)絡(luò)建立了三下標(biāo)的 數(shù)學(xué)模型，大大減少了變量和約束的個(gè)數(shù),，提高了求解的效率,。 這個(gè)模型不采用流量的比例作為流變量，而直接用流量為流變量,，并對(duì)匯運(yùn),、 轉(zhuǎn)運(yùn)和分運(yùn)分別設(shè)置不同的變量。

     令Z4為OD流的匯運(yùn)流變量,，即從始發(fā)地機(jī) 場(chǎng)i到樞紐機(jī)場(chǎng)k的流量,，Ya是從輪輻機(jī)場(chǎng)i運(yùn)出的轉(zhuǎn)運(yùn)流量，X是O-D對(duì)(i,，j) 從樞紐機(jī)場(chǎng)l分運(yùn)到目的地j的流量,，再令O是從始發(fā)地機(jī)場(chǎng)i運(yùn)出的總流量,， N={1,2,…，n}是機(jī)場(chǎng)集合,，則三下標(biāo)樞紐網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型如下,； minC[2xCaZx+22aCuYu+22oC,x, O.表示起始于機(jī)場(chǎng)i的流量，因此二W,，=0,；式（3-15)表示共有p個(gè)樞 紐；式（3-16）~式（3-18）是流量平衡方程,，保證所有的O-D流全部由起始機(jī)場(chǎng)到目的地機(jī)場(chǎng),，其中式（3-16）表示從始發(fā)機(jī)場(chǎng)i出發(fā)，經(jīng)過分配連接到各樞紐機(jī)場(chǎng) 的匯運(yùn)流量之和必須等于O,，式（3-17）表示O-D對(duì)（i,，j）經(jīng)過各樞組機(jī)場(chǎng)l中轉(zhuǎn) 后分運(yùn)到目的地機(jī)場(chǎng)j的流量之和必須等于W，,，式（3-18）表示從始發(fā)地機(jī)場(chǎng)i運(yùn) 出的流量,，在樞紐機(jī)場(chǎng)k中轉(zhuǎn)的運(yùn)進(jìn)流量必須等于運(yùn)出流量；式（3-19）表示從始發(fā) 機(jī)場(chǎng)i出發(fā),，經(jīng)航節(jié)i→k匯運(yùn)時(shí),，k一定是樞紐城市,，式（3-20）表示如果O-D對(duì)(i,、 j)經(jīng)過機(jī)場(chǎng)l中轉(zhuǎn)分運(yùn)到目的地機(jī)場(chǎng)j，l一定是樞紐,；式（3-21）表示流變量是非 負(fù)變量,，式（3-22）要求y；是0-1型變量,。 這個(gè)模型盡管采用了三下標(biāo)變量,，但任一O-D對(duì)仍然至多經(jīng)過匯運(yùn)、轉(zhuǎn)運(yùn)和 分運(yùn)等三個(gè)航節(jié)完成運(yùn)輸任務(wù),，因此最多兩次中轉(zhuǎn),。

     變量數(shù)從四下標(biāo)的O（n1)個(gè) 減少為O（n3)個(gè)。如果n=100,，那么流變量數(shù)從1億個(gè)減少到100萬個(gè),。約束條 件數(shù)從四下標(biāo)模型的（2n3+n2+1）減少到三下標(biāo)模型的(n3+3n2+n+1)，當(dāng)n= 100時(shí),，四下標(biāo)模型大約有201萬個(gè),，三下標(biāo)模型大約有103萬個(gè)?？梢?，三下標(biāo) 模型的規(guī)模確實(shí)下降不少,。 例3-4在例3-3同樣的條件下，采用三下標(biāo)模型對(duì)樞紐航線網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化 設(shè)計(jì),。構(gòu)建三下標(biāo)模型如下： 同樣應(yīng)用ILOG/CPLEX求解上述模型,，得到的結(jié)果為：y2=y；=1,，即以北京 和廣州作為樞紐,；最優(yōu)的總成本是950364元，這與四下標(biāo)模型得到的結(jié)果相同,；流 變量的解如下：Z2=106,，Z2=354,Z2=97，Za=46,，Z46=22,，Z4s=231，Z2=63,， 模型中一共有331個(gè)約束條件和474個(gè)變量,。與四下標(biāo)模型比較可以發(fā)現(xiàn)， 無論是約束條件數(shù),、變量數(shù)還是運(yùn)算時(shí)間,，三下標(biāo)模型都小于四下標(biāo)模型。當(dāng)問題 的規(guī)模進(jìn)一步擴(kuò)大后,，這一點(diǎn)將會(huì)更加明顯,。