式（6-25a)是輸入型DEA對(duì)偶模型,，其中對(duì)偶變量日的取值盡管無限制,，但實(shí) 際上有00，i=1,，2,，… m;;>0,j=1,，2…,0,則稱被評(píng)單位k。 是DEA有效的,。 這里不加證明地給出如下結(jié)果,，如果讀者想了解證明過程，請(qǐng)參考相關(guān)文獻(xiàn) (魏權(quán)齡,，2004）,。 定理6-12R模型都具有最優(yōu)解，并且min0=maxByA,。<1,。 定理6-2至少存在一個(gè)決策單元是DEA有效的。

    定理6-3決策單元的弱DEA有效和DEA有效與輸入量和輸出量的量綱 無關(guān),。 定理6-4決策單元的各輸入,、輸出量同倍增長(zhǎng)不會(huì)影響決策單元的弱DEA 有效性和DEA有效性。 定理6-5C2R的輸人模型和輸出模型的原問題具有相同的最優(yōu)解,，并且最 優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值互為倒數(shù),；min E。 而axE云”對(duì)偶問題的最優(yōu)解滿足關(guān)系(6-26),。 以上定理為DEA法奠定了理論基礎(chǔ),，通過這些定理可以得出以下結(jié)論。 

   （1）R模型都存在最優(yōu)解,，幾種模型的最優(yōu)解是等價(jià)的,。 

   （2）DEA有效性評(píng)價(jià)與輸入、輸出量量綱無關(guān),，也與它們的同倍增加和減少 無關(guān),。

    (3）DEA有效性評(píng)價(jià)實(shí)際上是各決策單元之間相對(duì)比較后得出的結(jié)果，是相 對(duì)有效性評(píng)價(jià),。

    (4)各決策單元必須是同一類單元,，相互之間具有可比性，用于評(píng)價(jià)的輸入輸 出量種類相同（數(shù)值不同）,。

     另外,，在DEA模型（6-24)中，如果約束條件數(shù)n和決策變量a,，,、β個(gè)數(shù) （m+o)之間，滿足關(guān)系(m十o）>n+1,，則根據(jù)基本可行解的特性,，最優(yōu)的基本可 行解中必有決策變量等于0，那么能否根據(jù)DEA有效性的定義6-2，就斷定該決策 單元只是弱DEA有效的?一般不能,。因?yàn)樵谶@種情況下,，C2R模型可能存在無 窮多最優(yōu)解，其中最優(yōu)解凸集的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,，凸集的內(nèi)點(diǎn)都是最優(yōu)解,，這些內(nèi) 點(diǎn)中可能存在各決策變量都大于零的點(diǎn)，此時(shí)是DEA有效的,。 例6-3在例6-2中,，以航線為決策單元，n=5,，投入是運(yùn)行成本,，產(chǎn)出包括收 益、貢獻(xiàn)值和需求,，因此,，m=1，o=3,。表6-7給出了投入和產(chǎn)出量的具體數(shù)值,，現(xiàn) 評(píng)價(jià)這5條航線的有效性。 解取航線1為被評(píng)單位：ko=1,，并令x=a3,，y1=a1，y2=a2,，y3=a4,。根據(jù) 表6-7的數(shù)據(jù)，輸出型DEA對(duì)偶模型如下： 以其他航線為被評(píng)單位,，可以給出另外4個(gè)類似的模型,，可用ILOG/CPLEX 編程求解給出，即對(duì)于航線1：A:=0,，iA3,，p3=1.25,，～1.125 對(duì)于航線2：A:=0,，i決3，p3=1.25,7'=1.o227 對(duì)于航線3：pi=0,，i3,，p3=1.0，=1.6 對(duì)于航線4：p1=0,，iA3,，p3=1.5，7=1.680 對(duì)于航線5：p:=0,，i產(chǎn)5,，5E1.0.7c1.6 根據(jù)定理6-5和定義6-1可知,，只有航線3和航線5至少是弱DEA有效的， 其他三條航線都是非DEA有效的,。

     根據(jù)定理6-2可知,，在航線3和航線5中至少 有一條是DEA有效的。根據(jù)互補(bǔ)松弛定理可知,，對(duì)于航線3和航線5的情況,，由 子對(duì)偶問題約束條件的松弛變量都等于0，很有可能原問題的決策變量最優(yōu)解a,、 a20.k=1,2.3,4,5,，帶想這兩條航線都是DEA有效的。請(qǐng)同學(xué)們通過計(jì)算原間 題最優(yōu)解ax,、BA來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,。 DEA法不能給出被評(píng)對(duì)象的優(yōu)劣排序，只能評(píng)價(jià)其是否DEA有效,。對(duì)于上 例,，我們無法再給出航線3和航線5誰更好些。對(duì)于非DEA有效的航線1,、航線2 和航線4,，是否能根據(jù)最優(yōu)解的結(jié)果，給出航線1最差的結(jié)論?請(qǐng)同學(xué)們討論這個(gè) 問題,。 從上述討論可以看出,，DEA法不受主觀判斷的影響，權(quán)重只受選擇的輸入量 和輸出量影響,，也就是如果選擇不同的輸人量和輸出量,，評(píng)價(jià)結(jié)果可能不同。

    例如,，如果把需求從輸出量中刪除,，也就是本公司對(duì)需求大小（市場(chǎng)份額）不太關(guān)心,， 則重新進(jìn)行DEA分析發(fā)現(xiàn),，航線5的效率系數(shù)成為 對(duì)于航線5：p:=0，i3,，p3=1.0,，7=1.2 其他航線的效率系數(shù)不變。因此,，航線5已變成非DEA有效的了,，此時(shí)只有 航線3是DEA有效的。 上述結(jié)論與層次分析法產(chǎn)生的結(jié)果不太一致，層次分析法評(píng)價(jià)的結(jié)果排在前 面的不一定是DEA有效的,。因?yàn)閷哟畏治龇ǚ治龅慕Y(jié)果受權(quán)重影響比較大,，權(quán) 重是由專家在屬性之間兩兩比較后給出的，受主觀因素影響比較重,，所以只能通過 一致性檢驗(yàn)判斷權(quán)重的合理性,。